Задача по мотивам сказки «Конёк-Горбунок» П.П. Ершова

Тут Конёк: «Сказать по дружбе, Это службишка, не служба: Служба вся, брат, впереди! Ты теперя спать поди; А назавтра, утром рано, Мы поедем к окияну». Ну-с, так едет наш Иван За кольцом на окиян. Горбунок летит, как ветер, И в почин на первый вечер Вёрст сто тысяч отмахал. И нигде не отдыхал.

• Насколько хорошо знал Конёк маршрут и конечную точку путешествия?
• Подсчитайте скорость движения Горбунка и сравните её со скоростью ветра.
• Подсчитайте работу против силы тяжести, произведённую Горбунком на «службишке» по перевозке Ивана.

Формирование данных

Старая русская мера длины – верста = 1,0668км. Считаем, что сутки делятся на четыре равных временных интервала: утро, вечер, день и ночь, тогда можно допустить, что Горбунок «вёрст сто тысяч отмахал» за время Δt = 12 часов (с раннего утра до вечера).

Суммарная масса Ивана и Конька m = 100кг.

При каждом «махе» – скачке Горбунка центры масс его и Ивана перемещаются вверх на величину Δh, которую определим позже в ходе решения задачи. Длину одного скачка l примем равной 500м, опираясь на утверждение поэта, что Конёк «поднатужился – и вмиг на далёкий берег прыг» (со спины огромного «чудо-юдо рыбы-кита»).

Решение

Сто тысяч вёрст, которые «отмахал» Конёк-Горбунок, выраженные в метрах, дадут нам путь до финиша путешествия:

Это расстояние соответствует ~ 2,5 длинам окружности Земли:

где R_З = 6,4×10⁶м – радиус Земли. Поэтому мы можем заключить, что Конёк блуждал по всем «окиянам» Земли, отыскивая конечную точку маршрута.

Расстояние L Горбунок «отмахал» («и нигде не отдыхал») за Δt = 12 часов, откуда его скорость

Эта скорость >> скорости звука и приближается к первой космической скорости. Только сказочные способности Конька-Горбунка позволяют ему развивать, очевидно, такую скорость, которую, конечно, надо сравнивать не со скоростью ветра («Горбунок летит как ветер…»), т.к. даже самые сильные ветры имеют скорость в ~ 10² раз меньшую. Считая, что такой скорости можно достичь только в отсутствие сопротивления среды, дальнейшее решение проведём в этом приближении.

Определим величину подъёма центра масс системы Иван – Конёк-Горбунок Δh при каждом «махе» последнего на длину l = 500м, решая задачу о движении тела, брошенного под углом a к горизонту с начальной скоростью V.

Так как

при этих условиях sinx ≈ x, откуда a = 4×10^-4 радиана.

Максимальная высота подъёма Δh в этом случае будет определяться выражением:

Высота подъёма центра масс Δh мала. Т.е. при такой скорости при скачке Горбунок просто стелется по земле. Работа A₁ против силы тяжести, совершаемая Коньком при подъёме центров масс своего и Ивана на Δh при одном скачке, определяется выражением:

Работа A_S за всё время путешествия равна A₁ × n, где n = L / l – число скачков, тогда

Средняя мощность, развиваемая Горбунком для совершения этой работы,

Что вполне по силам и не сказочному коню, т.к. одна лошадиная сила эквивалентна 736Вт.

Задача по мотивам песни «В далёком созвездии Тау Кита» В. Высоцкого

В далёком созвездии Тау Кита Всё стало для нас непонятно, Сигнал посылаем: «Вы что это там?» – А нас посылают обратно… Вот, двигаясь по световому лучу Без помощи, но при посредстве, Я к Тау Кита этой самой лечу, Чтоб с ней разобраться на месте. Не помню, как поднял я свой звездолёт, – Лечу в настроеньи питейном: Земля ведь ушла лет на триста вперёд По гнусной теорьи Эйнштейна!...

Определите время, проведённое «космонавтом» в полёте на Тау Кита и обратно, и на сколько по «гнусной теорьи Эйнштейна» должен отличаться возраст «космонавта», вернувшегося из полёта, от возраста жителей Земли, которая «ушла лет на триста вперёд» с момента старта «космонавта»?

Формирование данных

В отрывке, очевидно речь идёт о созвездии Кита. Слабая звёздочка в углу «рта» Кита – это звезда Тау Кита. Расстояние L до неё от Земли равно 12 световым годам. Световой год – это расстояние, проходимое светом за 1 год. Это расстояние составляет 9,463×10²⁵ м или 0,3069 парсека.

Фразу: «…Земля ведь ушла лет на триста вперёд…» надо понимать так, что по часам, оставленным на Земле с момента старта прошло время Δt = 300 лет. Мы не можем трактовать это время как разницу между показаниями часов, находящихся на месте старта, и часов в кабине звездолёта после его возвращения на Землю Δt′, так как в этом случае минимальное расстояние, на которое должен слетать космонавт и вернуться, должно соответствовать именно этим 300 световым годам, а расстояние до Тау Кита и обратно соответствует только 24 световым годам.

Решение

«По гнусной теорьи Эйнштейна» времена Δt′ и Δt связаны соотношением:

где

Δt′ и Δt – определены в разделе «Формирование данных»,

V – скорость звездолёта,

с – скорость света в вакууме (3×10⁸ м/с).

Так как , где L – расстояние от Земли до Тау Кита, то , Тогда , т.к. . Т.е. «космонавт» вернётся на один год моложе своего «двойника», оставленного на Земле. Очевидно, что в качестве «космонавта» и его «двойника» должны выступать роботы, первого из которых поэт наделил склонностью к «питейному настроению», с ресурсом работы не менее 300 лет. Такая небольшая разница в возрастах наблюдается из-за того, что звездолёт летел со скоростью: , то есть более чем на порядок меньше скорости света.

Задачи для самостоятельного решения

1. В книге Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» её герой рассказывает о себе следующую историю: «Я стоял рядом с огромнейшей пушкой … и когда из пушки вылетело ядро, я вскочил на него верхом и лихо понёсся вперёд… мимо меня пролетало встречное ядро… я пересел на него и как ни в чём не бывало помчался обратно». Оцените, как изменится дальность полёта ядра, если барон оседлает его при вылете из пушки или пересядет с одного ядра на другое в полёте.

2. Н.А. Некрасов. «Дедушка Мазай и зайцы».

Мимо бревно суковатое плыло, Сидя, и стоя, и лёжа пластом, Зайцев с десяток спасалось на нём. «Взял бы я вас – да потопите лодку!» Жаль их, однако, да жаль и находку – Я зацепился багром за сучок И за собою бревно поволок.

Оцените, при каком минимальном объёме бревна зайцы могли на нём плыть.

3. В.Я. Брюсов. «Мир электрона».

Быть может, эти электроны – Миры, где пять материков, Искусства, знанья, войны, троны И память сорока веков! Ещё, быть может, каждый атом – Вселенная, где сто планет; Там всё, что здесь, в объёме сжатом, Но также то, чего здесь нет. Их меры малы, но всё та же Их бесконечность, как и здесь; Там скорбь и страсть, как здесь, и даже Там та же мировая спесь…

В чём видит поэт сходство мира электрона и Земли?

Сравните отношения радиусов первых четырёх боровских орбит электрона в атоме водорода с отношениями расстояний от Солнца до других планет.